18 905 Algebraische Topologie I Herbst 2016 (vorgesehen)

Wie unterscheiden wir mathematisch einen Donut von einer Kugel oder klassifizieren komplexe geometrische Formen? Die algebraische Topologie bietet ein leistungsfähiges Rahmenwerk, um diese geometrischen Rätsel zu lösen, indem topologische Räume in algebraische Strukturen umgewandelt werden. Dieser textbasierte Kurs führt Sie durch die Kernkonzepte der Singularhomologie und Kohomologie, die Ihnen die theoretischen Werkzeuge zur rigorösen Analyse von Räumen geben. Sie werden eine starke mathematische Intuition dafür entwickeln, wie algebraische Invarianten die grundlegenden Eigenschaften von Formen offenbaren. Was Sie lernen werden: - Verstehen Sie die grundlegenden Definitionen von topologischen Räumen, Kettenkomplexen und Funktoren - Berechnung singulärer Homologiegruppen für Standardgeometrie und CW-Komplexe - Anwenden von homologischen Algebratechniken, einschließlich exakter Sequenzen und Diagrammverfolgung - Erkunden Sie die Struktur von Kohomologiegruppen und die Struktur des Cup-Produkts - Analysieren Sie die Dualität von Mannigfaltigkeiten mit Poincaré-Dualitätssätzen - Entdecken Sie moderne Perspektiven auf die rechnerische Topologie und persistente Homologiekonzepte Der Kurs beginnt mit wesentlichen Definitionen von Kategorien, Funktoren und Kettenkomplexen, bevor er zu singulären Homologien, CW-Näherungen und fortgeschrittenen Kohomologietheorien übergeht. Sie üben durch detaillierte schriftliche Beweise, Schritt-für-Schritt-Ableitungen und konzeptionelle Übungen. Dieser Kurs richtet sich an Mathematikstudenten und Selbstlernende mit einem grundlegenden Hintergrund in Punktmengentopologie und abstrakter Algebra. Vorkenntnisse in algebraischer Topologie sind nicht erforderlich. Beginnen Sie noch heute mit dem Lesen, um die algebraische Sprache geometrischer Räume zu erschließen.